（1）作$\triangle ABC$外接圆，圆心为点$O$，连接$OA$，$OB$，

$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
过点$O$作$OE\bot AB$于点$E$，则$AE=BE=3$，
$\because OA=OB$，
$\therefore \angle OAE=\angle OBE=30^{\circ}$，
设$OA=2x$，则$OE=x$，
$\therefore OE^{2}+AE^{2}=OA^{2}$，
$\therefore x^{2}+3^{2}=\left(2x\right)^{2}$，
$\therefore x=\sqrt{3}($负值舍），
$\therefore OA=2\sqrt{3}$，
即$\triangle ABC$外接圆的半径为$2\sqrt{3}$；
$(2)$①$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$\angle ABE=\angle BCF=90^{\circ}$，
在$\triangle ABE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle BCF\left(SAS\right).$
$\therefore \angle BAE=\angle CBF$.
$\because \angle CBF+\angle ABF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE+\angle ABF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGB=90^{\circ}$；
故答案为：$90^{\circ}$；
②连接$AC$，$BD$，它们交于点$O$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$.
由①知：$\angle AGB=90^{\circ}$，
$\therefore$点$E$从点$B$到点$C$的运动过程中，点$G$经过的路径为以$AB$为直径的圆中的$\frac{1}{4}$的圆周长$\widehat {BO}$，如图$2$，
$\therefore$点$E$从点$B$到点$C$的运动过程中，点$G$经过的路径长为$\frac{1}{4}\times 2\pi \times 2=\pi$.
若点$M$为$AB$的中点，$BM=2$，
$\therefore CM=\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore CG$的最小值为$CM-BM=2\sqrt{5}-2$；
③$\because \angle ABG=90^{\circ}$，点$I$是$\triangle ABG$的内心，
$\therefore \angle AIG=135^{\circ}$，
$\therefore$点$I$在以$AB$为弦，所含圆周角为$135^{\circ}$的劣弧上运动，如图，
设这个劣弧的圆心为$O$，连接$OA$，$OB$，过点$O$作$OM\bot BC$，交$CB$的延长线于点$M$，
$\because \angle AIB=135^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2\sqrt{2}$.
$\because \angle ABM=90^{\circ}$，$\angle ABO=45^{\circ}$，
$\therefore \angle OBM=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle OMB$为等腰直角三角形，
$\therefore MB=OM=\frac{\sqrt{2}}{2}OB=2$，
$\therefore CM=BC+MB=6$.
当点$O$，$I$，$C$三点在一条直线上时，$CI$取得最小值$=OC-OI$.
$\because OC=\sqrt{O{M}^{2}+M{C}^{2}}=2\sqrt{10}$，$OI=OA=2\sqrt{2}$，
$\therefore CI$的最小值$=2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$.
故答案为：$2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$.

（1）作$\triangle ABC$外接圆，圆心为点$O$，连接$OA$，$OB$，

$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
过点$O$作$OE\bot AB$于点$E$，则$AE=BE=3$，
$\because OA=OB$，
$\therefore \angle OAE=\angle OBE=30^{\circ}$，
设$OA=2x$，则$OE=x$，
$\therefore OE^{2}+AE^{2}=OA^{2}$，
$\therefore x^{2}+3^{2}=\left(2x\right)^{2}$，
$\therefore x=\sqrt{3}($负值舍），
$\therefore OA=2\sqrt{3}$，
即$\triangle ABC$外接圆的半径为$2\sqrt{3}$；
$(2)$①$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$\angle ABE=\angle BCF=90^{\circ}$，
在$\triangle ABE$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle BCF\left(SAS\right).$
$\therefore \angle BAE=\angle CBF$.
$\because \angle CBF+\angle ABF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE+\angle ABF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGB=90^{\circ}$；
故答案为：$90^{\circ}$；
②连接$AC$，$BD$，它们交于点$O$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$.
由①知：$\angle AGB=90^{\circ}$，
$\therefore$点$E$从点$B$到点$C$的运动过程中，点$G$经过的路径为以$AB$为直径的圆中的$\frac{1}{4}$的圆周长$\widehat {BO}$，如图$2$，
$\therefore$点$E$从点$B$到点$C$的运动过程中，点$G$经过的路径长为$\frac{1}{4}\times 2\pi \times 2=\pi$.
若点$M$为$AB$的中点，$BM=2$，
$\therefore CM=\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore CG$的最小值为$CM-BM=2\sqrt{5}-2$；
③$\because \angle ABG=90^{\circ}$，点$I$是$\triangle ABG$的内心，
$\therefore \angle AIG=135^{\circ}$，
$\therefore$点$I$在以$AB$为弦，所含圆周角为$135^{\circ}$的劣弧上运动，如图，
设这个劣弧的圆心为$O$，连接$OA$，$OB$，过点$O$作$OM\bot BC$，交$CB$的延长线于点$M$，
$\because \angle AIB=135^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OA=OB=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2\sqrt{2}$.
$\because \angle ABM=90^{\circ}$，$\angle ABO=45^{\circ}$，
$\therefore \angle OBM=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle OMB$为等腰直角三角形，
$\therefore MB=OM=\frac{\sqrt{2}}{2}OB=2$，
$\therefore CM=BC+MB=6$.
当点$O$，$I$，$C$三点在一条直线上时，$CI$取得最小值$=OC-OI$.
$\because OC=\sqrt{O{M}^{2}+M{C}^{2}}=2\sqrt{10}$，$OI=OA=2\sqrt{2}$，
$\therefore CI$的最小值$=2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$.
故答案为：$2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$.