【模型提出】如图$1$,已知线段$AB$的长度为$4$,在线段$AB$所在直线外有一点$C$,且$\angle ACB=45^{\circ}$,想确定满足条件的点$C$的位置,可以以$AB$为底边构造一个等腰$Rt\triangle AOB$,再以点$O$为圆心,$OA$长为半径画圆,得到$\triangle ABC$的外接圆,则点$C$在$\odot O$的优弧$ACB$上.即:已知线段$AB$的长度,$\angle ACB$的大小确定,则点$C$一定在某一个确定的圆上,即定弦定角必定圆,我们把这样的几何模型称之为"定弦定角"模型.
【模型应用】
$(1)$如图$2$,当弦$AB=6$,$\angle C=60^{\circ}$时,求$\triangle ABC$外接圆的半径.
$(2)$如图$3$,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,点$E$、$F$分别是边$BC$、$CD$上的动点,$BE=CF$,连接$AE$、$BF$,$AE$与$BF$交于点$G$.
①在点$G$的运动过程中$\angle AGB=$______；
②在图$3$中,点$E$从点$B$到点$C$的运动过程中,求点$G$经过的路径长和$CG$的最小值；
③在图$3$中,若点$Ⅰ$是$\triangle ABG$的内心,连接$CI$,直接写出线段$CI$的最小值.