$\left(1\right)BC$与$\odot O$相切.理由如下：

证明：连接$OD$.
$\because OA=OD$，
$\therefore \angle OAD=\angle ODA$，
$\because$图形沿过点$A$的直线翻折，点$C$的对应点${C\’}$落在边$AB$上，
$\therefore \angle CAD=\angle OAD$，
$\therefore \angle CAD=\angle ODA$，
$\therefore AC$∥$OD$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ODC=90^{\circ}$，即$OD\bot BC$，
又$\because CB$经过半径$OD$的外端$D$，
$\therefore BC$与$\odot O$相切；
$(2)\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAO=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle OAD=\angle ODA=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DOC\’=60^{\circ}$，$\angle ODC\’=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
将$Rt\triangle ABC$沿过点$A$的直线翻折并展开，直角顶点$C$的对应点${C\’}$落在边$AB$上，
$\therefore AC=AC\’=4\sqrt{3}$，
$\because$在$Rt\triangle ADC\’$中，$AC\’=4\sqrt{3}$，$\angle OAD=30^{\circ}$，
$\therefore AD=2DC\’$，
设$DC\’=x$，则$AD=2x$，
$\therefore \left(2x\right)^{2}-x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$，
解得$x=4$，
$\therefore DC\’=4$，
同样地，在$Rt\triangle ODC\’$中，$OC\’=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，$OD=2OC\’=\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
即半径为$\frac{8}{3}\sqrt{3}$.

$\left(1\right)BC$与$\odot O$相切.理由如下：

证明：连接$OD$.
$\because OA=OD$，
$\therefore \angle OAD=\angle ODA$，
$\because$图形沿过点$A$的直线翻折，点$C$的对应点${C\’}$落在边$AB$上，
$\therefore \angle CAD=\angle OAD$，
$\therefore \angle CAD=\angle ODA$，
$\therefore AC$∥$OD$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ODC=90^{\circ}$，即$OD\bot BC$，
又$\because CB$经过半径$OD$的外端$D$，
$\therefore BC$与$\odot O$相切；
$(2)\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAO=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle OAD=\angle ODA=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DOC\’=60^{\circ}$，$\angle ODC\’=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
将$Rt\triangle ABC$沿过点$A$的直线翻折并展开，直角顶点$C$的对应点${C\’}$落在边$AB$上，
$\therefore AC=AC\’=4\sqrt{3}$，
$\because$在$Rt\triangle ADC\’$中，$AC\’=4\sqrt{3}$，$\angle OAD=30^{\circ}$，
$\therefore AD=2DC\’$，
设$DC\’=x$，则$AD=2x$，
$\therefore \left(2x\right)^{2}-x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$，
解得$x=4$，
$\therefore DC\’=4$，
同样地，在$Rt\triangle ODC\’$中，$OC\’=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，$OD=2OC\’=\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
即半径为$\frac{8}{3}\sqrt{3}$.