如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=\alpha .F$为$BC$的中点,点$D$在线段$BF$上.以点$A$为中心,将线段$AD$逆时针旋转$\alpha$得到线段$AE$,连接$CE$,$DE$.
$(1)$求证:$AC$平分$\angle ECB$；
$(2)$如图$2$,$G$为$DE$的中点,连接$FG$.试判断$FG$与$AC$的位置关系,并说明理由；
$(3)$如图$3$,若$\alpha =60^{\circ}$,$AB=3\sqrt{2}$,连接$BE$,试说明$\triangle ABE$的面积是一个定值,并求出该定值.