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九年级数学解答题一般
题目
如图11,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=α.F\angle BAC=\alpha .F为BCBC的中点,点DD在线段BFBF上.以点AA为中心,将线段ADAD逆时针旋转α\alpha得到线段AEAE,连接CECE,DEDE.
(1)(1)求证:ACAC平分∠ECB\angle ECB；
(2)(2)如图22,GG为DEDE的中点,连接FGFG.试判断FGFG与ACAC的位置关系,并说明理由；
(3)(3)如图33,若α=60∘\alpha =60^{\circ},AB=32AB=3\sqrt{2},连接BEBE,试说明△ABE\triangle ABE的面积是一个定值,并求出该定值.
知识点：几何变换综合题章节：第4章 图形的平移与旋转 / 4.2 图形的旋转

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=α\because \angle BAC=\angle DAE=\alpha，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD\therefore \angle BAC-\angle CAD=\angle DAE-\angle CAD，
即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE.
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB\therefore \angle ABD=\angle ACB，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∴AC\therefore AC平分∠ECB\angle ECB；
(2)(2)FG⊥ACFG\bot AC.
证明如下：如图，作EM⊥ACEM\bot AC，分别交ACAC，BCBC于点HH，MM.

由（1）知∠ACE=∠ACB\angle ACE=\angle ACB.
在△CEH\triangle CEH和△CMH\triangle CMH中，
{∠ECH=∠MCHCH=CH∠CHE=∠CHM=90°\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠MCH}\\{CH=CH}\\{∠CHE=∠CHM=90°}\end{array}\right.，
∴△CEH\therefore \triangle CEH≌△CMH(ASA)\triangle CMH\left(ASA\right)，
∴CE=CM\therefore CE=CM.
又∵△ABD\because \triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴BD=CE\therefore BD=CE，
∴BD=CM\therefore BD=CM.
∵\because点FF为BCBC的中点，
∴BF=CF\therefore BF=CF，
∴DF=FM\therefore DF=FM.
∵\because点FF为DMDM的中点，点GG为DEDE的中点，
∴FG\therefore FG∥EMEM，
∴FG⊥AC\therefore FG\bot AC；
(3)(3)∵AB=AC\because AB=AC，α=60∘\alpha =60^{\circ}，
∴△ABC\therefore \triangle ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60∘\therefore \angle ABC=60^{\circ}，
由（1）可知△ABD\triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴∠ACE=∠ABD=∠BAC=60∘\therefore \angle ACE=\angle ABD=\angle BAC=60^{\circ}，
∴CE\therefore CE∥ABAB，
∴S△ABF=S△ABC=34(AB)2=932\therefore S_{△ABF}=S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}(AB)^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE的面积是一个定值.该定值为932\frac{9\sqrt{3}}{2}.

解析

(1)(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=α\because \angle BAC=\angle DAE=\alpha，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD\therefore \angle BAC-\angle CAD=\angle DAE-\angle CAD，
即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE.
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB\therefore \angle ABD=\angle ACB，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∴AC\therefore AC平分∠ECB\angle ECB；
(2)(2)FG⊥ACFG\bot AC.
证明如下：如图，作EM⊥ACEM\bot AC，分别交ACAC，BCBC于点HH，MM.

由（1）知∠ACE=∠ACB\angle ACE=\angle ACB.
在△CEH\triangle CEH和△CMH\triangle CMH中，
{∠ECH=∠MCHCH=CH∠CHE=∠CHM=90°\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠MCH}\\{CH=CH}\\{∠CHE=∠CHM=90°}\end{array}\right.，
∴△CEH\therefore \triangle CEH≌△CMH(ASA)\triangle CMH\left(ASA\right)，
∴CE=CM\therefore CE=CM.
又∵△ABD\because \triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴BD=CE\therefore BD=CE，
∴BD=CM\therefore BD=CM.
∵\because点FF为BCBC的中点，
∴BF=CF\therefore BF=CF，
∴DF=FM\therefore DF=FM.
∵\because点FF为DMDM的中点，点GG为DEDE的中点，
∴FG\therefore FG∥EMEM，
∴FG⊥AC\therefore FG\bot AC；
(3)(3)∵AB=AC\because AB=AC，α=60∘\alpha =60^{\circ}，
∴△ABC\therefore \triangle ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60∘\therefore \angle ABC=60^{\circ}，
由（1）可知△ABD\triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴∠ACE=∠ABD=∠BAC=60∘\therefore \angle ACE=\angle ABD=\angle BAC=60^{\circ}，
∴CE\therefore CE∥ABAB，
∴S△ABF=S△ABC=34(AB)2=932\therefore S_{△ABF}=S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}(AB)^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE的面积是一个定值.该定值为932\frac{9\sqrt{3}}{2}.

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