D

$A$、$\because$一次函数$y=-x-2$中的$k=-1 \lt 0$，$b=-2 \lt 0$，
$\therefore$函数图象经过第二、三、四象限，
故$A$正确，不符合题意；
$B$、令$x=0$，则$y=-2$，
$\therefore$图象与$y$轴的交点为$\left(0,-2\right)$，
故$B$正确，不符合题意；
$C$、直线$y=-x-2$的图象可由直线$y=-x$向下平移$2$个单位长度得到，
故$C$正确，不符合题意；
$D$、$\because$一次函数$y=-x-2$中的$k=-1 \lt 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\because -1 \lt 4$，
$\therefore y_{1} \gt y_{2}$，
故$D$错误，符合题意.
故选：$D$.