如图,在平面直角坐标系中,$O$为原点,$\triangle OAB$是等腰直角三角形,$\angle OBA=90^{\circ}$,点$A\left(5,0\right)$,点$B$在第一象限,点$P$从点$O$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿边$OA$向终点$A$运动,过点$P$作$PQ\bot OA$,交$\triangle OAB$的直角边于点$Q$,将线段$QP$绕点$Q$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$QM$,点$P$的对应点为$M$,连接$PM$.设$\triangle PQM$与$\triangle OAB$重合部分的面积为$S$,点$P$运动的时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.
$(1)$直接写出点$B$的坐标；
$(2)$当点$M$落在$AB$上时,求$t$的值；
$(3)$求$S$关于$t$的函数关系式,并写出$t$的取值范围.