如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过$A\left(1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,对称轴为直线$l$,直线$l$与$x$轴交于点$D.P$、$Q$是该抛物线上的两个点,点$P$的横坐标为$m$.
$(1)$求该抛物线的解析式和顶点坐标；
$(2)$若点$P$是该抛物线的顶点时,求$PC$的长；
$(3)$当$\triangle PAD$的面积是$3$时,求点$P$的坐标:
$(4)$当点$Q$在直线$l$的右侧,点$P$到直线$l$的距离是点$Q$的纵坐标时,若点$P$、$Q$之间的部分的图象（包括点$P$、点$Q)$的最高点与最低点的纵坐标之差为$3$,直接写出$m$的值.