（1）把$A\left(1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$代入$y=x^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x+3$；
$\because y=x^{2}-4x+3=\left(x-2\right)^{2}-1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(2,-1\right)$；
$(2)$在$y=x^{2}-4x+3$中，令$x=0$得$y=3$，
$\therefore C\left(0,3\right)$，
点$P$是该抛物线的顶点时，$P$的坐标为$\left(2,-1\right)$，
$\therefore PC=\sqrt{(0-2)^{2}+(3+1)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore PC$的长为$2\sqrt{5}$；
$(3)$由$y=\left(x-2\right)^{2}-1$知抛物线对称轴为直线$x=2$，
$\therefore D\left(2,0\right)$，
$\because A\left(1,0\right)$，
$\therefore AD=2-1=1$，
设$\triangle PAD$的边$AD$上的高为$h$，则$\frac{1}{2}\times 1\times h=3$，
$\therefore h=6$，
$\because$抛物线顶点$\left(2,-1\right)$到$AD$的距离为$1$，
$\therefore P$只能在$x$轴上方，
在$y=x^{2}-4x+3$中，令$y=6$得$6=x^{2}-4x+3$，
解得$x=2+\sqrt{7}$或$x=2-\sqrt{7}$；
$\therefore P(2+\sqrt{7}$，$6)$或$(2-\sqrt{7}$，$6)$；
$(4)$由（3）知，抛物线对称轴为直线$x=2$，
$\therefore P$到对称轴直线$l$的距离为$|m-2|$，即$Q$的纵坐标为$|m-2|$，
①当$m \lt 2$时，点$P$、$Q$之间的部分的图象最低点为顶点$\left(2,-1\right)$，
若$P$为最高点，则$m^{2}-4m+3-\left(-1\right)=3$，
解得$m=2+\sqrt{3}$（舍去）或$m=2-\sqrt{3}$；
若$Q$为最高点，则$|m-2|-\left(-1\right)=3$，即$2-m+1=3$，
解得$m=0($此时$Q$不是最高点，舍去）；
②当$m \gt 2$时，若点$P$为最高点，点$Q$为最低点，则$\left(m-2\right)^{2}-1-\left(m-2\right)=3$，
解得$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$（舍）或$m=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$；
若点$Q$为最高点，点$P$为最低点，$m-2-\left(m-2\right)^{2}+1=3$，方程无解；
综上所述，$m$的值为$2-\sqrt{3}$或$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$.

（1）把$A\left(1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$代入$y=x^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x+3$；
$\because y=x^{2}-4x+3=\left(x-2\right)^{2}-1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(2,-1\right)$；
$(2)$在$y=x^{2}-4x+3$中，令$x=0$得$y=3$，
$\therefore C\left(0,3\right)$，
点$P$是该抛物线的顶点时，$P$的坐标为$\left(2,-1\right)$，
$\therefore PC=\sqrt{(0-2)^{2}+(3+1)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore PC$的长为$2\sqrt{5}$；
$(3)$由$y=\left(x-2\right)^{2}-1$知抛物线对称轴为直线$x=2$，
$\therefore D\left(2,0\right)$，
$\because A\left(1,0\right)$，
$\therefore AD=2-1=1$，
设$\triangle PAD$的边$AD$上的高为$h$，则$\frac{1}{2}\times 1\times h=3$，
$\therefore h=6$，
$\because$抛物线顶点$\left(2,-1\right)$到$AD$的距离为$1$，
$\therefore P$只能在$x$轴上方，
在$y=x^{2}-4x+3$中，令$y=6$得$6=x^{2}-4x+3$，
解得$x=2+\sqrt{7}$或$x=2-\sqrt{7}$；
$\therefore P(2+\sqrt{7}$，$6)$或$(2-\sqrt{7}$，$6)$；
$(4)$由（3）知，抛物线对称轴为直线$x=2$，
$\therefore P$到对称轴直线$l$的距离为$|m-2|$，即$Q$的纵坐标为$|m-2|$，
①当$m \lt 2$时，点$P$、$Q$之间的部分的图象最低点为顶点$\left(2,-1\right)$，
若$P$为最高点，则$m^{2}-4m+3-\left(-1\right)=3$，
解得$m=2+\sqrt{3}$（舍去）或$m=2-\sqrt{3}$；
若$Q$为最高点，则$|m-2|-\left(-1\right)=3$，即$2-m+1=3$，
解得$m=0($此时$Q$不是最高点，舍去）；
②当$m \gt 2$时，若点$P$为最高点，点$Q$为最低点，则$\left(m-2\right)^{2}-1-\left(m-2\right)=3$，
解得$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$（舍）或$m=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$；
若点$Q$为最高点，点$P$为最低点，$m-2-\left(m-2\right)^{2}+1=3$，方程无解；
综上所述，$m$的值为$2-\sqrt{3}$或$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$.