题目
已知:如图,在梯形
ABCD中
,AD∥BC,
AB⊥BC,点
M在边
BC上,且
∠MDB=∠ADB,
BD2=AD⋅BC.
(1)求证:
BM=CM；
(2)作
BE⊥DM,垂足为点
E,并交
CD于点
F.求证:
2AD⋅DM=DF⋅DC.
知识点：梯形的定义、相似三角形的判定与性质章节：第二十一章 四边形 / 21.8 梯形
答案与解析
答案
证明：
(1)∵AD∥BC，
AB⊥BC，
∠MDB=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB，
∠A=90∘，
∴BM=DM，
又
∵BD2=AD⋅BC，即
BDAD=BCBD，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90∘，
∴∠C=∠MDC=90∘−∠DBC，
∴DM=CM，
∴BM=CM，
(2)∵∠MDC+∠DFB=90∘，
∴∠DFB=∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴DFBD=BDDC，
∴DF⋅DC=BD2∵BD2=AD⋅BC=AD⋅(2DM)=2AD⋅DM，
∴2AD⋅DM=DF⋅DC.
解析
证明：
(1)∵AD∥BC，
AB⊥BC，
∠MDB=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB，
∠A=90∘，
∴BM=DM，
又
∵BD2=AD⋅BC，即
BDAD=BCBD，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90∘，
∴∠C=∠MDC=90∘−∠DBC，
∴DM=CM，
∴BM=CM，
(2)∵∠MDC+∠DFB=90∘，
∴∠DFB=∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴DFBD=BDDC，
∴DF⋅DC=BD2∵BD2=AD⋅BC=AD⋅(2DM)=2AD⋅DM，
∴2AD⋅DM=DF⋅DC.
