知识拓展:解分式方程除了转化整式方程外,还有其他的解法,请仔细阅读并完成填空:
$(1)$例题:解方程$\frac{90}{30+v}=\frac{60}{30-v}$.
解法$1$:利用分式的基本性质,将原方程化为$\frac{180}{60+2v}=\frac{180}{90-3v}$,由分子相同,得分母相同,即______.
解法$2$:分式两边通分,得$\frac{90(30-v)}{(30+v)(30-v)}=\frac{60(30+v)}{(30+v)(30-v)}$,由分母相同,得分子相同,即______.
$(2)$解法$3$:用图形的方式表示出来,就可以用图$1$来解释.
如图,$S_{长方形ABCD}=90$,$S_{长方形AGHD}=60$,$GE=EB=v$,$AE=DF=30$,$AB=30+v$,$AG=30-v$.则$AD=\frac{90}{30+v}=\frac{60}{30-v}\cdot AD=EF$,$EF=\frac{{S}_{长方形AEFD}}{AE}$,由$S_{长方形AEFD}=75$,$AE=30$,得$AD=$______,从而求得$v=\_\_\_\_\_\_.$

问题解决:
$(3)$如图$2$所示,在三角形$ABC$中,$D$,$E$是$BC$边上的点,且$DE=EC$,$S_{三角形ABC}=48cm^{2}$,$S_{三角形ABD}=36cm^{2}$,$BE=21cm$,求$BC$的长.