$\left(1\right)2x^{3}+5x^{2}+3x=0$，

$x(2x^{2}+5x+3)=0$，

$\therefore x=0$或$2x^{2}+5x+3=0$.

解方程$2x^{2}+5x+3=0$，得$x_2=-\frac{3}{2}$或$x_{3}=-1$，

$\therefore x_{1}=0$，$x_2=-\frac{3}{2}$，$x_{3}=-1$，

$(2)\sqrt{3x^2+5x-1}=x+1$.

方程两边平方，得$3x^{2}+5x-1=\left(x+1\right)^{2}$

即$3x^{2}+5x-1=x^{2}+2x+1$，

整理，得$2x^{2}+3x-2=0$，

解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-2$.

经检验，$x=\frac{1}{2}$是原方程的解.

$\therefore$原方程的解为$x=\frac{1}{2}$.

$\left(1\right)2x^{3}+5x^{2}+3x=0$，

$x(2x^{2}+5x+3)=0$，

$\therefore x=0$或$2x^{2}+5x+3=0$.

解方程$2x^{2}+5x+3=0$，得$x_2=-\frac{3}{2}$或$x_{3}=-1$，

$\therefore x_{1}=0$，$x_2=-\frac{3}{2}$，$x_{3}=-1$，

$(2)\sqrt{3x^2+5x-1}=x+1$.

方程两边平方，得$3x^{2}+5x-1=\left(x+1\right)^{2}$

即$3x^{2}+5x-1=x^{2}+2x+1$，

整理，得$2x^{2}+3x-2=0$，

解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-2$.

经检验，$x=\frac{1}{2}$是原方程的解.

$\therefore$原方程的解为$x=\frac{1}{2}$.