延长$BG$交$AC$于$D$，延长$CG$交$AB$于$E$，在$GD$的延长线上取一点$F$，使$DF=GD$，如图所示：

$\because G$是$\triangle ABC$的重心，
$\therefore$点$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，
$\therefore AD=CD$，
$\because \angle AG\bot GC$，$AC=8$，
$\therefore GD$为$Rt\triangle AGC$斜边$AC$上的中点，
$\therefore GD=\frac{1}{2}AC=4$，
$\therefore GF=2GD=8$，
在$\triangle ADF$和$\triangle CDG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=∠CDG}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADF$≌$\triangle CDG\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DAF=\angle DCG$，
$\therefore AF$∥$CG$，
即$AF$∥$GE$，
$\because$点$E$是$AB$的中点，
$\because GE$是$\triangle ABF$的中位线，
$\therefore BG=GF=8$.
故答案为：$8$.

延长$BG$交$AC$于$D$，延长$CG$交$AB$于$E$，在$GD$的延长线上取一点$F$，使$DF=GD$，如图所示：

$\because G$是$\triangle ABC$的重心，
$\therefore$点$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，
$\therefore AD=CD$，
$\because \angle AG\bot GC$，$AC=8$，
$\therefore GD$为$Rt\triangle AGC$斜边$AC$上的中点，
$\therefore GD=\frac{1}{2}AC=4$，
$\therefore GF=2GD=8$，
在$\triangle ADF$和$\triangle CDG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=∠CDG}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADF$≌$\triangle CDG\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DAF=\angle DCG$，
$\therefore AF$∥$CG$，
即$AF$∥$GE$，
$\because$点$E$是$AB$的中点，
$\because GE$是$\triangle ABF$的中位线，
$\therefore BG=GF=8$.
故答案为：$8$.