如图,图$1$是长为$2a$,宽为$2b\left(a \gt b\right)$的长方形,沿图中虚线（对称轴）剪开,用得到的四个全等的小长方形,拼成如图$2$所示的大正方形（无重叠无缝隙),设图$2$中小正方形（阴影部分）面积为$S$.
$(1)$用两种不同方法求（阴影部分）面积$S$,(用含$a$、$b$的式子表示）
$(2)$请直接写出$\left(a+b\right)^{2}$、$\left(a-b\right)^{2}$、$ab$这三个代数式之间的数量关系；
$(3)$利用（2）中结论,计算:已知$x+y=-11$,$xy=12$,求$\left(x-y\right)^{2}$的值.