现有$A$、$B$、$C$三种不同型号的卡片若干张（如图$\left(1\right))$,其中$A$型卡片是边长为$a$的正方形,$B$型卡片是长为$a$、宽为$b$的长方形,$C$型卡片是边长为$b$的正方形,且$a \gt b$.我们可以选取一些卡片,无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形.
$(1)$用$A$型卡片$1$张,$B$型卡片$2$张,$C$型卡片$1$张可以拼成一个正方形如图（2）,该正方形的边长为______,试根据该图形写出一个表示$a$、$b$数量关系的等式:______.
$(2)$现有$A$型卡片$2$张,$B$型卡片$2$张,$C$型卡片$2$张,从这$6$张卡片中去掉$2$张,用余下的$4$张卡片,拼出一个长方形.请画出大致的拼图,并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案).
$(3)$如果要拼一个长为$2a+b$、宽为$a+2b$的长方形,设需要$A$型卡片$x$张,$B$型卡片$y$张,$C$型卡片$z$张,那么$x+y+z= \_\_\_\_\_\_.$