（1）四边形$ABCD$为菱形.
理由如下：如图，连接$AC$交$BD$于点$O$，
$\because$四边形$AECF$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，$AO=OC$，$EO=OF$，
又$\because$点$E$、$F$为线段$BD$的两个三等分点，
$\therefore BE=FD$，
$\therefore BO=OD$，
$\because AO=OC$，
$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\because AC\bot BD$，
$\therefore$四边形$AECF$为菱形；

$(2)\because$四边形$ABCD$为菱形，且周长为$52$，
$\therefore AB=BC=13$，
$\because BD=24$，
$\therefore EF=8$，$OB=\frac{1}{2}BD=12$，
由勾股定理得，$AO=\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}=5$，
$\therefore AC=2AO=2\times 5=10$，
$\therefore S_{四边形AECF}=\frac{1}{2}EF\cdot AC=\frac{1}{2}\times 8\times 10=40$.

（1）四边形$ABCD$为菱形.
理由如下：如图，连接$AC$交$BD$于点$O$，
$\because$四边形$AECF$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，$AO=OC$，$EO=OF$，
又$\because$点$E$、$F$为线段$BD$的两个三等分点，
$\therefore BE=FD$，
$\therefore BO=OD$，
$\because AO=OC$，
$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\because AC\bot BD$，
$\therefore$四边形$AECF$为菱形；

$(2)\because$四边形$ABCD$为菱形，且周长为$52$，
$\therefore AB=BC=13$，
$\because BD=24$，
$\therefore EF=8$，$OB=\frac{1}{2}BD=12$，
由勾股定理得，$AO=\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}=5$，
$\therefore AC=2AO=2\times 5=10$，
$\therefore S_{四边形AECF}=\frac{1}{2}EF\cdot AC=\frac{1}{2}\times 8\times 10=40$.