$\left(1\right)BE=EM$.理由如下：
方法一：如图，连接$ED$.

$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线，
$\therefore BC=CD$，$\angle BCA=\angle DCA=45^{\circ}$，$\angle DCB=90^{\circ}$，
在$\triangle BCE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=CD，\\∠BCE=∠DCE，\\ CE=CE，\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BCE$≌$\triangle DCE\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=DE$，$\angle EBC=\angle EDC$，
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore \angle BEM=90^{\circ}$，
$\because$四边形$BCME$中，$\angle EMC+\angle EBC=360^{\circ}-\angle BCM-\angle BEM=180^{\circ}$，
$\because \angle EMC+\angle EMD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC=\angle EMD$，
$\therefore EM=ED$，
$\therefore BE=ME$；
方法二：过$E$作$EP\bot BC$于点$P$，$EQ\bot CD$于点$Q$，则四边形$EPCQ$是正方形，

$\therefore EP=EQ$，$\angle PEQ=\angle EPQ=\angle EQM=90^{\circ}$，
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore \angle FEH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEP=\angle MEQ=90^{\circ}-\angle PEH$，
$\therefore \triangle BEP$≌$\triangle MEQ\left(ASA\right)$，
$\therefore BE=ME$；
$(2)$如图，过点$E$作$EP\bot BC$于点$P$，作$EQ\bot CD$于点$Q$.

$\therefore \angle EPC=\angle EQC=90^{\circ}$，
$\because$点$E$是正方形$ABCD$的对角线$AC$上的点，
$\therefore EP=EQ$，$\angle PCQ=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$EPCQ$是正方形，
在$Rt\triangle BPE$和$Rt\triangle MQE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EM}\\{EP=EQ}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle BPE$≌$Rt\triangle MQE\left(HL\right)$，
$\therefore S_{\triangle BPE}=S_{\triangle MQF}$，
$\therefore S_{四边形EBCM}=S_{\triangle BPE}+S_{四边形EPCM}=S_{\triangle MQE}+S_{四边形EPCM}=S_{正方形EPCQ}$，
$\because$正方形$ABCD$与正方形$EFGH$重叠的面积是$16cm^{2}$，
$\therefore \frac{CE^2}{2}=16$，
解得$CE=4\sqrt{2}$，
$\because$正方形$ABCD$的边长为$6$，
$\therefore AC=6\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AC-CE=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore$此时$AE$的长为$2\sqrt{2}cm$；
$(3)$分三种情况：
①当$AE \lt CE$时，

如图，过$E$作$PQ$∥$BC$交$AB$于点$P$，交$CD$于点$Q$，则四边形$BPQC$是正方形，$\triangle APE$、$\triangle CEQ$是等腰直角三角形，
由（1）知$BE=EM$，
$\because BP=CQ=EQ$，
$\therefore \triangle BPE$≌$\triangle EQM\left(HL\right)$，
$\therefore PE=MQ$，
$\because \triangle CEQ$是等腰直角三角形，
$\therefore CE=\sqrt{2}CQ=\sqrt{2}\left(CM+MQ\right)=\sqrt{2}CM+\sqrt{2}MQ$，
$\because \triangle APE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=\sqrt{2}PE=\sqrt{2}MQ$，
$\therefore CE=\sqrt{2}CM+AE$，
$\therefore CE-AE=\sqrt{2}MC$；
②当$AE=CE$时，$CE=AE$且点$M$与点$C$重合；
③当$AE \gt CE$时，

同理可证，$AE-CE=\sqrt{2}MC$.

$\left(1\right)BE=EM$.理由如下：
方法一：如图，连接$ED$.

$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线，
$\therefore BC=CD$，$\angle BCA=\angle DCA=45^{\circ}$，$\angle DCB=90^{\circ}$，
在$\triangle BCE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=CD，\\∠BCE=∠DCE，\\ CE=CE，\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BCE$≌$\triangle DCE\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=DE$，$\angle EBC=\angle EDC$，
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore \angle BEM=90^{\circ}$，
$\because$四边形$BCME$中，$\angle EMC+\angle EBC=360^{\circ}-\angle BCM-\angle BEM=180^{\circ}$，
$\because \angle EMC+\angle EMD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC=\angle EMD$，
$\therefore EM=ED$，
$\therefore BE=ME$；
方法二：过$E$作$EP\bot BC$于点$P$，$EQ\bot CD$于点$Q$，则四边形$EPCQ$是正方形，

$\therefore EP=EQ$，$\angle PEQ=\angle EPQ=\angle EQM=90^{\circ}$，
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore \angle FEH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEP=\angle MEQ=90^{\circ}-\angle PEH$，
$\therefore \triangle BEP$≌$\triangle MEQ\left(ASA\right)$，
$\therefore BE=ME$；
$(2)$如图，过点$E$作$EP\bot BC$于点$P$，作$EQ\bot CD$于点$Q$.

$\therefore \angle EPC=\angle EQC=90^{\circ}$，
$\because$点$E$是正方形$ABCD$的对角线$AC$上的点，
$\therefore EP=EQ$，$\angle PCQ=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$EPCQ$是正方形，
在$Rt\triangle BPE$和$Rt\triangle MQE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EM}\\{EP=EQ}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle BPE$≌$Rt\triangle MQE\left(HL\right)$，
$\therefore S_{\triangle BPE}=S_{\triangle MQF}$，
$\therefore S_{四边形EBCM}=S_{\triangle BPE}+S_{四边形EPCM}=S_{\triangle MQE}+S_{四边形EPCM}=S_{正方形EPCQ}$，
$\because$正方形$ABCD$与正方形$EFGH$重叠的面积是$16cm^{2}$，
$\therefore \frac{CE^2}{2}=16$，
解得$CE=4\sqrt{2}$，
$\because$正方形$ABCD$的边长为$6$，
$\therefore AC=6\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AC-CE=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore$此时$AE$的长为$2\sqrt{2}cm$；
$(3)$分三种情况：
①当$AE \lt CE$时，

如图，过$E$作$PQ$∥$BC$交$AB$于点$P$，交$CD$于点$Q$，则四边形$BPQC$是正方形，$\triangle APE$、$\triangle CEQ$是等腰直角三角形，
由（1）知$BE=EM$，
$\because BP=CQ=EQ$，
$\therefore \triangle BPE$≌$\triangle EQM\left(HL\right)$，
$\therefore PE=MQ$，
$\because \triangle CEQ$是等腰直角三角形，
$\therefore CE=\sqrt{2}CQ=\sqrt{2}\left(CM+MQ\right)=\sqrt{2}CM+\sqrt{2}MQ$，
$\because \triangle APE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=\sqrt{2}PE=\sqrt{2}MQ$，
$\therefore CE=\sqrt{2}CM+AE$，
$\therefore CE-AE=\sqrt{2}MC$；
②当$AE=CE$时，$CE=AE$且点$M$与点$C$重合；
③当$AE \gt CE$时，

同理可证，$AE-CE=\sqrt{2}MC$.