综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师让同学们以"大小不等的两个正方形"为主题开展数学活动,如图$1$,现有一个边长为$6cm$的正方形$ABCD$,点$E$从对角线$AC$的点$A$出发向点$C$运动,连接$EB$并延长至点$F$,使$EF \gt AB$,以$EF$为边在$EF$右侧作正方形$EFGH$,边$EH$与射线$DC$交于点$M$.
操作发现
$(1)$点$E$在运动过程中,判断线段$BE$与线段$EM$之间的数量关系,并说明理由；
实践探究
$(2)$在点$E$的运动过程中,某时刻正方形$ABCD$与正方形$EFGH$重叠的四边形$EBCM$的面积是$16cm^{2}$,求此时$AE$的长；
探究拓广
$(3)$请借助备用图$2$,探究当点$E$不与点$A$,$C$重合时,线段$AE$,$EC$与$MC$之间存在的数量关系,请直接写出.