定义:在数轴上,如果两个数所对应点位于某点的两侧,且与这点的距离相等,我们称其中一个数与另一个数关于这点互为对称数,例如,如图,数$1$在数轴上所对应点为点$A$,则数$4$与数$-2$关于点$A$互为对称数；已知点$P$是数轴上一动点,数$-1$与$-4$关于点$P$互为对称数分别为$m$、$n$,数$m$与数$n$在数轴上对应的点分别为点$M$、$N$.
$(1)$当点$P$运动至原点$O$时,$m=$______,$n=$______；
$(2)$若点$P$运动至与点$A$时,$m=$______,$n=$______；
$(3)$若点$P$运动至与数$t$所对应的点时$,m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_;($用含$t$的代数式表示）
$(4)$在（3）中,数$t=$______时,点$P$、$M$,$N$三点中恰有一点是另两点连线段的中点.