当点$M$在圆外时，
$\because$点$M$到$\odot O$的最大距离为$19$，最小距离是$3$，
$\therefore \odot O$的直径为$19-3=16$，
$\therefore \odot O$的半径为$8$，
当点$P$在圆内时，
$\because$点$M$到$\odot O$的最大距离为$19$，最小距离是$3$，
$\therefore \odot O$的直径为$19+3=22$，
$\therefore \odot O$的半径为$11$，
综上所述，$\odot O$的半径为$8$或$11$，
故答案为：$8$或$11$.

当点$M$在圆外时，
$\because$点$M$到$\odot O$的最大距离为$19$，最小距离是$3$，
$\therefore \odot O$的直径为$19-3=16$，
$\therefore \odot O$的半径为$8$，
当点$P$在圆内时，
$\because$点$M$到$\odot O$的最大距离为$19$，最小距离是$3$，
$\therefore \odot O$的直径为$19+3=22$，
$\therefore \odot O$的半径为$11$，
综上所述，$\odot O$的半径为$8$或$11$，
故答案为：$8$或$11$.