【激活经验】
小明在学习有理数运算时,通过具体运算发现:
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,$\ldots$
在学习二次根式运算时,小明根据学习有理数运算积累的活动经验,类比探究了二次根式的运算规律,请将探究过程补充完整:
特例$1$:$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1×2}=1+1-\frac{1}{2}$；
特例$2$:$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2×3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
特例$3:\_\_\_\_\_\_(填写一个符合上述运算特征的式子)$.
【发现规律】
$\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}= \_\_\_\_\_\_.(n \gt 2,$且$n$为整数）
【应用规律】
$(1)\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+⋯+\sqrt{1+\frac{1}{2023^2}+\frac{1}{2024^2}}=$______；
$(2)$如果$\sqrt{1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}}+⋯+\sqrt{1+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}}$的小数部分是$0.1$,那么整数部分为______.