如图,在等边$\triangle ABC$中,点$M$在$AB$边上运动,延长$BC$至点$N$,使$CN=AM$,连接$MN$,$MN$交$AC$于点$P$,过$M$作$MH\bot AC$于点$H$.
$(1)$求证:$MP=NP$；
$(2)$若$AB=4$,请问:在点$M$运动的过程中,线段$PH$的长是否发生变化?如果不变,请你求出$PH$的长；如果变化,试说明理由.