阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,$\angle ABC=2\angle C$.求证:$AC=AB+BD$；
小明通过思考发现,可以通过"截长、补短"两种方法解决问题:
方法一:如图$2$,在$AC$上截取$AE$,使得$AE=AB$,连接$DE$,可以得到全等三角形,进而解决问题.
方法二:如图$3$,延长$AB$到点$E$,使得$BE=BD$,连接$DE$,可以得到等腰三角形,进而解决问题.

$(1)$根据阅读材料,任选一种方法证明$AC=AB+BD$,根据自己的解题经验或参考小明的方法,解决下面的问题；
$(2)$如图$4$,四边形$ABCD$中,$E$是$BC$上一点,$EA=ED$,$\angle DCB=2\angle B$,$\angle DAE+\angle B=90^{\circ}$,探究$DC$、$CE$、$BE$之间的数量关系,并证明.