我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如图$1$可以得到$\left(a+2b\right)\left(a+b\right)=a^{2}+3ab+2b^{2}$.请解答下列问题:

（1）写出图$2$中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论,解决下面的问题:已知$a+b+c=12$,$ab+bc+ac=47$,求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值；

（3）小明同学打算用$x$张边长为$a$的正方形,$y$张边长为$b$的正方形,$z$张相邻两边长为分别为$a$、$b$的长方形纸片拼出了一个面积为$\left(5a+8b\right)\left(7a+4b\right)$长方形,那么他总共需要多少张纸片?