乘法公式的探究及应用:
数学活动课上,老师准备了若干个如图$1$的三种纸片:$A$种纸片是边长为$a$的正方形,$B$种纸片是边长为$b$的正方形,$C$种纸片是长为$b$、宽为$a$的长方形.并用$A$种纸片一张,$B$种纸片一张,$C$种纸片两张拼成如图$2$的大正方形.
$(1)$请用两种不同的方法表示图$2$大正方形的面积:
方法$1:$______,
方法$2:$______；
$(2)$观察图$2$,请你写出三个代数式$\left(a+b\right)^{2}$,$a^{2}+b^{2}$,$ab$之间的数量关系:______；
$(3)$根据（2）题中的等量关系,解决如下问题:
①已知$a+b=7$,$a^{2}+b^{2}=33$,求$ab$的值；
②已知$\left(2023-a\right)^{2}+\left(a-2021\right)^{2}=8$,求$\left(2023-a\right)\left(a-2021\right)$的值.