阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法,拆项法,十字相乘法等等.
$(1)$分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:
①$ax+by+bx+ay$②$2xy+y^{2}-1+x^{2}$
$=\left(ax+bx\right)+\left(ay+by\right)=x^{2}+2xy+y^{2}-1$
$=x\left(a+b\right)+y\left(a+b\right)=\left(x+y\right)^{2}-1$
$=\left(a+b\right)\left(x+y\right)=\left(x+y+1\right)\left(x+y-1\right)$
$(2)$拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法.如:$x^{2}+2x-3$
$=x^{2}+2x+1-4$
$=\left(x+1\right)^{2}-2^{2}$
$=\left(x+1+2\right)\left(x+1-2\right)$
$=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
$(1)$分解因式:$a^{2}-b^{2}+a-b$；
$(2)$分解因式:$a^{2}+4ab-5b^{2}$；
$(3)$多项式$x^{2}-6x+1$有最小值吗?如果有,请求出它取最小值时$x$的值.