阅读:关于$x$,$y$的二次六项式$x^{2}+5xy-24y^{2}-x+25y-6$如果可以分解成两个关于$x$,$y$的一次三项式的乘积,那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解,具体方法如图所示:先对$x^{2}+5xy-24y^{2}$进行十字相乘分解得$\left(x+8y\right)\left(x-3y\right)$,则原式一定可以分解成$\left(x+8y+a\right)\left(x-3y+b\right)$的形式,然后分别对$x^{2}-x-6$与$-24y^{2}+25y-6$进行十字相乘分解,从而确定$a=-3$,$b=2$,所以$x^{2}+5xy-24y^{2}-x+25y-6=\left(x+8y-3\right)\left(x-3y+2\right)$.
根据阅读,要求如下:
$(1)$因式分解:$x^{2}+xy-2y^{2}+x+14y-20$；
$(2)$若关于$x$,$y$的多项式$x^{2}+2xy+ky^{2}-2x+10y-3$可以分解成两个关于$x$,$y$的一次三项式的乘积,求$k$的值.