如图,有一电脑程序:每按一次按键,$A$区就会自动加上$a^{2}+2a$,同时$B$区就会自动乘$2$,并在各自区域显示化简后的结果.已知$A$,$B$两区的初始显示值分别是$-6$和$1-a$.
$(1)$若从初始状态按$1$次按键后,$A$区与$B$区代数式的和为$0$,求$a$的值；
$(2)$是否存在$a$的值,使得从初始状态按$2$次按键后,$A$,$B$两区显示的结果同时为$0$?若存在,求出$a$的值；若不存在,说明理由.