解：$(1)$当$k=0$时，原方程为$-3x+1=0$，
解得：$x=\dfrac{1}{3}$，
$∴k=0$符合题意；
当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，
$∵$该一元二次方程有实数根，
$∴\triangle=(-3)^{2}-4×k×1\geqslant 0$，
解得：$k\leqslant\dfrac{9}{4}.$
综上所述，$k$的取值范围为$k\leqslant\dfrac{9}{4}.$
$(2)∵x_{1}$和$x_{2}$是方程$kx^{2}-3x+1=0$的两个根，
$∴x_{1}+x_{2}=\dfrac{3}{k}$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{k}.$
$∵x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4$，
$∴\dfrac{3}{k}+\dfrac{1}{k}=4$，
解得：$k=1$，
经检验，$k=1$是分式方程的解，且符合题意．
$∴k$的值为$1.$

解：$(1)$当$k=0$时，原方程为$-3x+1=0$，
解得：$x=\dfrac{1}{3}$，
$∴k=0$符合题意；
当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，
$∵$该一元二次方程有实数根，
$∴\triangle=(-3)^{2}-4×k×1\geqslant 0$，
解得：$k\leqslant\dfrac{9}{4}.$
综上所述，$k$的取值范围为$k\leqslant\dfrac{9}{4}.$
$(2)∵x_{1}$和$x_{2}$是方程$kx^{2}-3x+1=0$的两个根，
$∴x_{1}+x_{2}=\dfrac{3}{k}$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{k}.$
$∵x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4$，
$∴\dfrac{3}{k}+\dfrac{1}{k}=4$，
解得：$k=1$，
经检验，$k=1$是分式方程的解，且符合题意．
$∴k$的值为$1.$