解：$(1)$画树状图得：

则$(m,n)$的所有取值为：$(0,0)$，$(0,1)$，$(0,2)$，$(1,0)$，$(1,1)$，$(1,2)$，$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$；
$(2)∵$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根，
$∴\triangle=m^{2}-2n\geqslant 0$，
$∴$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根的有：$(0,0)$，$(1,0)$，$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$；
$∴$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根的概率为：$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.$

解：$(1)$画树状图得：

则$(m,n)$的所有取值为：$(0,0)$，$(0,1)$，$(0,2)$，$(1,0)$，$(1,1)$，$(1,2)$，$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$；
$(2)∵$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根，
$∴\triangle=m^{2}-2n\geqslant 0$，
$∴$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根的有：$(0,0)$，$(1,0)$，$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(3,0)$，$(3,1)$，$(3,2)$；
$∴$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx+\dfrac{1}{2}n=0$有实数根的概率为：$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.$