解：$∵$方程$x^{2}-(k+1)x+k+2=0$有两个实数根，

$∴{b}^{2}-4ac={\left(k+1\right)}^{2}-4\left(k+2\right)={k}^{2}-2k-7\geqslant 0$，

可设方程的两个根分别为${x}_{1}$，${x}_{2}$，

则有$x_{1}+x_{2}=k+1$，${x}_{1}{x}_{2}=k+2$，

又两个实数根的平方和等于$6$，

即${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=6$，

$∴{\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=6$，

即${\left(k+1\right)}^{2}-2\left(k+2\right)=6$，

整理得：$k^{2}-9=0$，

解得：$k=3$或$k=-3$，

当$k=3$时，$k^{2}-2k-7=-4< 0$，不合题意，舍去，

当$k=-3$时，$k^{2}-2k-7=8>0$，符合题意，

则实数$k$的值为$-3.$