若实数$a$使关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+1\geqslant\dfrac{x+3}{2}\\ x-1\geqslant\dfrac{a+x}{2}\end{cases}$有解且最多有$4$个整数解，且使关于$y$的方程$\dfrac{3y}{y+3}-\dfrac{a-2}{y+3}=1$的解是整数，则符合条件的所有整数$a$的个数是$(\quad)$