已知数轴上$A$、$B$、$C$三个点对应的数分别为$a$、$b$、$c$，且满足$|a+20|+|b+8|+(c-10)^{2}=0$；动点$P$在数轴上从$A$出发，以每秒$1$个单位长度的速度向终点$C$移动.
$(1)$求$a$、$b$、$c$的值；
$(2)$当点$P$到$B$点的距离是点$A$到$B$点距离的一半时，求$P$点移动的时间；
$(3)$当点$P$移动到$B$点时，点$Q$从点$A$出发以每秒$3$个单位长度的速度在数轴上向$C$点移动，$Q$点到达$C$点后，再立即以同样的速度返回，移动到终点$A.$当$P$、$Q$两点之间的距离为$5$个单位长度时，求$Q$点移动的时间.