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九年级数学选择题一般
题目

如图，在△ABC\triangle ABC中，ADAD和BEBE是高，∠ABE=45°∠ABE=45°，点FF是ABAB的中点，ADAD与FEFE，BEBE分别交于点GG，HH，∠CBE=∠BAD.∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FEFD=FE；②AH=2CDAH=2CD；③BC⋅AD=2AE2BC\cdot AD=\sqrt{2}A{{E}^{2}}；④AD⋅AG=12AC2.AD\cdot AG=\dfrac{1}{2}A{{C}^{2}}.其中正确的有()(\quad)

A.
11个
B.
22个
C.
33个
D.
44个
知识点：直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质章节：第9章 图形的相似 / 9.4 探索三角形相似的条件

答案与解析

答案

D

解析


解：∵∵在△ABC\triangle ABC中，ADAD和BEBE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵∵点FF是ABAB的中点，
∴FD=12AB∴FD=\dfrac{1}{2}AB，
∵∠ABE=45°∵∠ABE=45°，
∴△ABE∴\triangle ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE∴AE=BE，
∵∵点FF是ABAB的中点，
∴FE=12AB∴FE=\dfrac{1}{2}AB，
∴FD=FE∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC∴AB=AC，
∵AD⊥BC∵AD⊥BC，
∴BC=2CD∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH\triangle AEH和△BEC\triangle BEC中，
{∠AEH=∠CEBAE=BE∠EAH=∠CBE\begin{cases}∠AEH=∠CEB&\\ AE=BE&\\ ∠EAH=∠CBE&\end{cases}，
∴△AEH≌△BEC(ASA)∴\triangle AEH≌\triangle BEC(ASA)，
∴AH=BC=2CD∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE∴\triangle ABD～\triangle BCE，
∴ABBC=ADBE∴\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{BE}，即BC⋅AD=AB⋅BEBC\boldsymbol{⋅}AD=AB\boldsymbol{⋅}BE，
∵2AE2=AB⋅AE=AB⋅BE∵\sqrt{2}AE^{2}=AB\boldsymbol{⋅}AE=AB\boldsymbol{⋅}BE，BC⋅AD=AC⋅BE=AB⋅BEBC\boldsymbol{⋅}AD=AC\boldsymbol{⋅}BE=AB\boldsymbol{⋅}BE，
∴BC⋅AD=2AE2∴BC\boldsymbol{⋅}AD=\sqrt{2}AE^{2}；③正确；
∵F∵F是ABAB的中点，AB=ACAB=AC
∴BD=CD=12AB=12AC∴BD=CD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC，
∵△AFG∵\triangle AFG∽△ADB\triangle ADB，
∴AFAD=AGAB∴\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AG}{AB}，
即AD⋅AG=12AC2AD·AG=\dfrac{1}{2}AC^{2}，④正确．
故选D.D.

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