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九年级数学解答题中等
题目
如图，在△ABG中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AG上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重含），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）x为何值时y的值最大？
知识点：二次函数的最值、坐标与图形变换——平移章节：第23章 图形的相似 / 23.6 图形与坐标 / 23.6.2 图形的变换与坐标

答案与解析

答案

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴AD==x，
∴DC=DE=1-x，
∴y=（DE+FB）×DF=（1-x+1-x）x=-（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y=-（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；

（2）∵y=-（+1）x2+x，
∴当x=-=-1时，y有最大值．

解析

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴AD==x，
∴DC=DE=1-x，
∴y=（DE+FB）×DF=（1-x+1-x）x=-（+1）x2+x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y=-（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；

（2）∵y=-（+1）x2+x，
∴当x=-=-1时，y有最大值．

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