①④⑦⑧⑨

解：①半圆是弧，正确；
②长度相等的弧是等弧，错误；
③相等的圆心角所对的弧相等，错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴，正确；
⑤经过圆内一定点可以作无数条直径，错误；
⑥三个点确定一个圆，错误；
⑦直径是圆中最长的弦，正确；
⑧一个点到圆的最小距离为$6cm$，最大距离为$9cm$，则该圆的半径是$1.5cm$或$7.5cm$，正确；
⑨$⊙A$的半径为$6$，圆心$A(3,5)$，则坐标原点$O$在$⊙A$内，正确；
故答案为 ①④⑦⑧⑨ .