如图，$\triangle ABO$为直角三角形，$A$，$B$两点的坐标分别为$(-4,-3)$，$(0,-3).$抛物线$y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+bx+c$经过$A$，$B$两点．

$(1)$求抛物线的表达式；

$(2)$点$P$为线段$AB$下抛物线上的一个动点，过点$P$作$PE⊥AB$，交$AB$于点$E$，延长$PE$交$OA$于点$F$，过点$E$作$EG/\!/OA$交$OB$于点$G.$求当点$P$位于何处时，四边形$EFOG$的面积最大？最大面积为多少？