题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
九年级数学解答题一般
题目

如图，△ABO\triangle ABO为直角三角形，AA，BB两点的坐标分别为(−4,−3)(-4,-3)，(0,−3).(0,-3).抛物线y=14x2+bx+cy=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+bx+c经过AA，BB两点．

(1)(1)求抛物线的表达式；

(2)(2)点PP为线段ABAB下抛物线上的一个动点，过点PP作PE⊥ABPE⊥AB，交ABAB于点EE，延长PEPE交OAOA于点FF，过点EE作EG/ ⁣/OAEG/\!/OA交OBOB于点G.G.求当点PP位于何处时，四边形EFOGEFOG的面积最大？最大面积为多少？

知识点：待定系数法求正比例函数解析式、二次函数图象上点的坐标、二次函数的最值、待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质章节：第六章 一次函数 / 6.4 一次函数的应用

答案与解析

答案

解：(1)(1)把(−4,−3)(-4,-3)，(0,−3)(0,-3)代入y=14x2+bx+cy=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+bx+c，
得{14×(−4)2−4b+c=−3c=−3\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}×{(-4)}^{2}-4b+c=-3\\ c=-3\end{array}\right.，
解得{b=1c=−3\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=-3\end{array}\right.，
∴∴抛物线的表达式为y=14x2+x−3y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+x-3；
(2)(2)设直线OAOA的表达式为y=kx.y=kx.
∵∵点AA的坐标为(−4,−3)(-4,-3)，
∴−4k=−3∴-4k=-3，
解得k=34.k=\dfrac{3}{4}.
∴∴直线OAOA的表达式为y=34xy=\dfrac{3}{4}x，
设点P(t,14t2+t−3)P(t,\dfrac{1}{4}{t}^{2}+t-3)，
则−4<t<0-4< t< 0，点EE的坐标为(t,−3)(t,-3)，点FF的坐标为(t,34t).(t,\dfrac{3}{4}t).
∴EF=34t+3∴EF=\dfrac{3}{4}t+3，BE=−t.BE=-t.
设四边形EFOGEFOG的面积为SS，易知四边形EFOGEFOG是平行四边形，
∴S=EF⋅BE=−t(34t+3)=−34(t+2)2+3∴S=EF⋅BE=-t(\dfrac{3}{4}t+3)=-\dfrac{3}{4}{(t+2)}^{2}+3，
∴∴当t=−2t=-2时，四边形EFOGEFOG的面积最大，最大面积为33，
当t=−2t=-2时，14t2+t−3=14×(−2)2−2−3=−4\dfrac{1}{4}{t}^{2}+t-3=\dfrac{1}{4}×{(-2)}^{2}-2-3=-4，
∴∴当点PP的坐标为(−2,−4)(-2,-4)时，四边形EFOGEFOG的面积最大，最大面积为3.3.

解析

解：(1)(1)把(−4,−3)(-4,-3)，(0,−3)(0,-3)代入y=14x2+bx+cy=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+bx+c，
得{14×(−4)2−4b+c=−3c=−3\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}×{(-4)}^{2}-4b+c=-3\\ c=-3\end{array}\right.，
解得{b=1c=−3\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=-3\end{array}\right.，
∴∴抛物线的表达式为y=14x2+x−3y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+x-3；
(2)(2)设直线OAOA的表达式为y=kx.y=kx.
∵∵点AA的坐标为(−4,−3)(-4,-3)，
∴−4k=−3∴-4k=-3，
解得k=34.k=\dfrac{3}{4}.
∴∴直线OAOA的表达式为y=34xy=\dfrac{3}{4}x，
设点P(t,14t2+t−3)P(t,\dfrac{1}{4}{t}^{2}+t-3)，
则−4<t<0-4< t< 0，点EE的坐标为(t,−3)(t,-3)，点FF的坐标为(t,34t).(t,\dfrac{3}{4}t).
∴EF=34t+3∴EF=\dfrac{3}{4}t+3，BE=−t.BE=-t.
设四边形EFOGEFOG的面积为SS，易知四边形EFOGEFOG是平行四边形，
∴S=EF⋅BE=−t(34t+3)=−34(t+2)2+3∴S=EF⋅BE=-t(\dfrac{3}{4}t+3)=-\dfrac{3}{4}{(t+2)}^{2}+3，
∴∴当t=−2t=-2时，四边形EFOGEFOG的面积最大，最大面积为33，
当t=−2t=-2时，14t2+t−3=14×(−2)2−2−3=−4\dfrac{1}{4}{t}^{2}+t-3=\dfrac{1}{4}×{(-2)}^{2}-2-3=-4，
∴∴当点PP的坐标为(−2,−4)(-2,-4)时，四边形EFOGEFOG的面积最大，最大面积为3.3.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →