$(1)$证明：$∵ED⊥AD$，
$∴∠ADE=90°.$
在${\rm Rt}\triangle ADE$中，$∠DAE=30°$，$AE=4$，
$∴∠DEA=60°$，$DE=\dfrac{1}{2}AE=2$，
$∵EC=2$，
$∴DE=EC$，
$∴∠EDC=∠C.$
又$∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°$，
$∴∠C=30°=∠DAE$，
$∴AD=CD$；
$(2)$解：如图，过点$A$作$AF⊥BC$于点$F$，则$∠AFC=∠AFB=90°.$

$∵AE=4$，$EC=2$，
$∴AC=6.$
在${\rm Rt}\triangle AFC$中，$∠AFC=90°$，$∠C=30°$，
$∴AF=\dfrac{1}{2}AC=3.$
在${\rm Rt}\triangle AFB$中，$∠AFB=90°$，$\tan B=3$，
$∴BF=\dfrac{AF}{\tan B}=1$，
$∴AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{10}.$

$(1)$证明：$∵ED⊥AD$，
$∴∠ADE=90°.$
在${\rm Rt}\triangle ADE$中，$∠DAE=30°$，$AE=4$，
$∴∠DEA=60°$，$DE=\dfrac{1}{2}AE=2$，
$∵EC=2$，
$∴DE=EC$，
$∴∠EDC=∠C.$
又$∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°$，
$∴∠C=30°=∠DAE$，
$∴AD=CD$；
$(2)$解：如图，过点$A$作$AF⊥BC$于点$F$，则$∠AFC=∠AFB=90°.$

$∵AE=4$，$EC=2$，
$∴AC=6.$
在${\rm Rt}\triangle AFC$中，$∠AFC=90°$，$∠C=30°$，
$∴AF=\dfrac{1}{2}AC=3.$
在${\rm Rt}\triangle AFB$中，$∠AFB=90°$，$\tan B=3$，
$∴BF=\dfrac{AF}{\tan B}=1$，
$∴AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{10}.$