已知一隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为$2.5\:m.$求：

$(1)$隧道截面的面积$S(m^{2})$与截面上部半圆的半径$r(m)$之间的函数表达式．

$(2)$当$r=2\:m$时，隧道截面的面积$($精确到$0.1\:m^{2}).$