如图，方格纸中的每个小方格都是边长为$1$个单位的正方形${\rm Rt}\triangle ABC$的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点$A$的坐标为$(-4,1)$，点$B$的坐标为$(-1,1).$
$(1)$先将${\rm Rt}\triangle ABC$向右平移$5$个单位再向下平移$1$个单位后得到${\rm Rt}\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，试在图中画出图形${\rm Rt}\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出$A_{1}$的坐标；
$(2)$将${\rm Rt}\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$绕点$A_{1}$顺时针旋转$90°$后得到${\rm Rt}\triangle A_{1}B_{2}C_{2}$，试在图中画出图形${\rm Rt}\triangle A_{1}B_{2}C_{2}$；
$(3)$以$A_{1}$为位似中心，在第四象限内画三角形$A_{1}DE$使它与$\triangle A_{1}B_{2}C_{2}$位似，且相似比为$2$，不用画出图形，直接写出点$E$的坐标．