如图，正方形网格中，$\triangle ABC$为格点三角形$($顶点都在格点上$)$
$(1)$作出$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$后的$\triangle AB_{1}C_{1}$；作出$\triangle ABC$关于点$A$成中心对称的$\triangle AB_{2}C_{2}$；
$(2)$设小正方形的边长为$1$，求出$\triangle ABC$旋转到$\triangle AB_{1}C_{1}$的过程中$AB$所扫过的面积$($结果保留$π)$