解：$(1)∵$抛物线$y=ax^{2}+bx$经过点$A(-1,\dfrac{3}{2})$和点$C(2,0)$，
$∴\begin{cases}a-b=\dfrac{3}{2}\\ 4a+2b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\ b=-1\end{cases}$，
$∴$抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^{2}-x$；
$(2)∵D(0,m)$，
$∴$可设直线$AD$解析式为$y=kx+m$，
把$A$点坐标代入可得$\dfrac{3}{2}=-k+m$，即$k=m-\dfrac{3}{2}$，
$∴$直线$AD$解析式为$y=(m-\dfrac{3}{2})x+m$，
联立直线$AD$与抛物线解析式可得$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x^{2}-x\\ y=(m-\dfrac{3}{2})x+m\end{cases}$，
消去$y$，整理可得$\dfrac{1}{2}x^{2}+(\dfrac{1}{2}-m)x-m=0$，解得$x=-1$或$x=2m$，
$∴B$点横坐标为$2m$，
$∵S_{\triangle AOB}=5$，
$∴\dfrac{1}{2}OD[2m-(-1)]=5$，即$\dfrac{1}{2}m(2m+1)=5$，解得$m=-\dfrac{5}{2}$或$m=2$，
$∵$点$D(0,m)$是$y$轴正半轴上一动点，
$∴m=2$；
$(3)AC$和$DE$的位置关系不变，证明如下：
设直线$AC$解析式为$y=k'x+b'$，
$∵A(-1,\dfrac{3}{2})$、$C(2,0)$，
$∴\begin{cases}-k'+b'=\dfrac{3}{2}\\ 2k'+b'=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=-\dfrac{1}{2}\\ b'=1\end{cases}$，
$∴$直线$AC$解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，
由$(2)$可知$E(2m,0)$，且$D(0,m)$，
$∴$可设直线$DE$解析式为$y=sx+m$，
$∴0=2ms+m$，解得$s=-\dfrac{1}{2}$，
$∴$直线$DE$解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+m$，
$∴AC/\!/DE$，即$AC$和$DE$的位置关系不变．

解：$(1)∵$抛物线$y=ax^{2}+bx$经过点$A(-1,\dfrac{3}{2})$和点$C(2,0)$，
$∴\begin{cases}a-b=\dfrac{3}{2}\\ 4a+2b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\ b=-1\end{cases}$，
$∴$抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^{2}-x$；
$(2)∵D(0,m)$，
$∴$可设直线$AD$解析式为$y=kx+m$，
把$A$点坐标代入可得$\dfrac{3}{2}=-k+m$，即$k=m-\dfrac{3}{2}$，
$∴$直线$AD$解析式为$y=(m-\dfrac{3}{2})x+m$，
联立直线$AD$与抛物线解析式可得$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x^{2}-x\\ y=(m-\dfrac{3}{2})x+m\end{cases}$，
消去$y$，整理可得$\dfrac{1}{2}x^{2}+(\dfrac{1}{2}-m)x-m=0$，解得$x=-1$或$x=2m$，
$∴B$点横坐标为$2m$，
$∵S_{\triangle AOB}=5$，
$∴\dfrac{1}{2}OD[2m-(-1)]=5$，即$\dfrac{1}{2}m(2m+1)=5$，解得$m=-\dfrac{5}{2}$或$m=2$，
$∵$点$D(0,m)$是$y$轴正半轴上一动点，
$∴m=2$；
$(3)AC$和$DE$的位置关系不变，证明如下：
设直线$AC$解析式为$y=k'x+b'$，
$∵A(-1,\dfrac{3}{2})$、$C(2,0)$，
$∴\begin{cases}-k'+b'=\dfrac{3}{2}\\ 2k'+b'=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=-\dfrac{1}{2}\\ b'=1\end{cases}$，
$∴$直线$AC$解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+1$，
由$(2)$可知$E(2m,0)$，且$D(0,m)$，
$∴$可设直线$DE$解析式为$y=sx+m$，
$∴0=2ms+m$，解得$s=-\dfrac{1}{2}$，
$∴$直线$DE$解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+m$，
$∴AC/\!/DE$，即$AC$和$DE$的位置关系不变．