如图，等边$\triangle ABC$的边长为$8$，$D$为$AC$上的一个动点，延长$AB$到点$E$，使$BE=CD$，连接$DE$交$BC$于点$P$

$(1)$求证：$DP=EP$；

$(2)$若$D$为$AC$的中点，求$BP$的长.