九年级数学解答题二次根式的定义、二次根式的乘除法、二次函数的最值｜试题答案与解析

九年级数学解答题一般

题目

阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当

a>0

，

b>0

时，

∵{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}=a-2\sqrt{ab}+b\geqslant 0

，

∴a+b\geqslant 2\sqrt{ab}

，当且仅当

a=b

时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

$(1)$ 请直接写出答案：当 $x>0$ 时， $x+\dfrac{1}{x}$ 的最小值为____，当 $x< 0$ 时， $x+\dfrac{1}{x}$ 的最大值为____.

$(2)$ 若 $y=\dfrac{{{x}^{2}}+7x+10}{x+1}$ ， $(x>-1)$ ，求 $y$ 的最小值．

$(3)$ 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $\triangle AOB$ 、 $\triangle COD$ 的面积分别为 $4$ 和 $9$ ，求四边形 $ABCD$ 面积的最小值．

知识点：二次根式的定义、二次根式的乘除法、二次函数的最值章节：第21章二次根式 / 21.2 二次根式的乘除 / 21.2.1 二次根式的乘法

答案与解析

答案

解：

(1)2

；

-2

；

(2)y=\dfrac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}=\dfrac{{(x+1)}^{2}+5(x+1)+4}{x+1}=(x+1)+\dfrac{4}{x+1}+5\geqslant 2\sqrt{\left(x+1\right)\left(\dfrac{4}{\left(x+1\right)}\right)}+5=9

，

∵x>-1

，

∴

当且仅当

x+1=\dfrac{4}{x+1}

时，即

x=1

时取等号即

y

的最小值为

9

；

(3)

设

{{S}_{\vartriangle BOC}}=x

，已知

S_{\triangle AOB}=4

，

S_{\triangle COD}=9

，
则由等高三角形可知：

S_{\triangle BOC}

：

S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOB}

：

S_{\triangle AOD,}

∴x

：

9=4

：

S_{\triangle AOD}

∴{S}_{\triangle AOD}=\dfrac{36}{x}

，

∴

四边形

ABCD

面积

=4+9+x+\dfrac{36}{x}(x>0)

\geqslant 2\sqrt{x\cdot\dfrac{36}{x}}+13=25

，当且仅当

x=\dfrac{36}{x}

时，即

x=6

时取等号，
即四边形

ABCD

面积的最小值为

25.

解析

解：

(1)

根据题意可知当

x>0

时，

x+\dfrac{1}{x}

的最小值为

2

，
当

x< 0

时，

x+\dfrac{1}{x}

的最大值为

-2

，
故答案为

2

；

-2

；

(2)

见答案；

(3)

见答案．

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