如图，点 $O$是等边$\triangle ABC$ 内一点，$D$是$\triangle ABC$外的一点，$\angle AOB=110^{\circ}$，$\angle BOC=\angle\alpha$，$\triangle BOC\cong\triangle ADC$，$\angle OCD=60^{\circ}$，连接$OD$。

$(1)$求证：$\triangle OCD$是等边三角形；
$(2)$当$\angle\alpha=150^{\circ}$ 时，试判断$\triangle AOD$的形状，并说明理由；
$(3)$探究：当$\angle\alpha$ $=$________________度时，$\triangle AOD$是等腰三角形。