解方程$x^{4}-5x^{2}+4=0$，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设$x^{2}=y$，那么$x^{4}=y^{2}$，于是原方程可变为$y^{2}-5y+4=0$①，
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=4.$
当$y=1$时，$x^{2}=1$，$∴x=±1$；
当$y=4$时，$x^{2}=4$，$∴x=±2.$
$∴$原方程有四个根：$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=2$，$x_{4}=-2.$
以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解下列方程：
$(1)(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-12=0.$
$(2)$直角三角形中两条直角边分别为$a$，$b$，且满足$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+1)=12$，求这个直角三角形的斜边长．