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九年级数学解答题一般
题目
解方程x4−5x2+4=0x^{4}-5x^{2}+4=0，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=yx^{2}=y，那么x4=y2x^{4}=y^{2}，于是原方程可变为y2−5y+4=0y^{2}-5y+4=0①，
解得y1=1y_{1}=1，y2=4.y_{2}=4.
当y=1y=1时，x2=1x^{2}=1，∴x=±1∴x=±1；
当y=4y=4时，x2=4x^{2}=4，∴x=±2.∴x=±2.
∴∴原方程有四个根：x1=1x_{1}=1，x2=−1x_{2}=-1，x3=2x_{3}=2，x4=−2.x_{4}=-2.
以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解下列方程：
(1)(x2+x)2−4(x2+x)−12=0.(1)(x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-12=0.
(2)(2)直角三角形中两条直角边分别为aa，bb，且满足(a2+b2)(a2+b2+1)=12(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}+1)=12，求这个直角三角形的斜边长．
知识点：解一元二次方程——因式分解法、根的判别式、高次方程（二）、勾股定理章节：第22章 一元二次方程 / 22.3 实践与探索

答案与解析

答案

解：（1）设x2+x=y，原方程可变为y2-4y-12=0，解得y1=6，y2=-2，
当y=6时，x2+x=6，
即（x+3）（x-2）=0，解得x1=-3，x2=2；
当y=-2时，x2+x=-2，即x2+x+2=0，Δ=12-4×2=-7＜0，方程没有实数解；
所以原方程的根为：x1=-3，x2=2；

（2）设斜边为c，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴（a2+b2）（a2+b2+1）=12，
根据勾股定理得：c2（c2+1）-12=0，
即（c2-3）（c2+4）=0，
∵c2+4≠0，
∴c2-3=0，
解得：c=或c=-（舍去）．
则直角三角形的斜边长为．

解析

解：（1）设x2+x=y，原方程可变为y2-4y-12=0，解得y1=6，y2=-2，
当y=6时，x2+x=6，
即（x+3）（x-2）=0，解得x1=-3，x2=2；
当y=-2时，x2+x=-2，即x2+x+2=0，Δ=12-4×2=-7＜0，方程没有实数解；
所以原方程的根为：x1=-3，x2=2；

（2）设斜边为c，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴（a2+b2）（a2+b2+1）=12，
根据勾股定理得：c2（c2+1）-12=0，
即（c2-3）（c2+4）=0，
∵c2+4≠0，
∴c2-3=0，
解得：c=或c=-（舍去）．
则直角三角形的斜边长为．

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