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九年级数学解答题一般
题目

阅读下列材料：

解方程：x4−6x2+5=0.x^{4}-6x^{2}+5=0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=yx^{2}=y，那么x4=y2x^{4}=y^{2}，于是原方程可变为y2−6y+5=0y^{2}-6y+5=0…①，

解这个方程得：y1=1y_{1}=1，y2=5.y_{2}=5.

当y=1y=1时，x2=1x^{2}=1，∴x=±1∴x=±1；

当y=5y=5时，x2=5x^{2}=5，∴x=±5∴x=±\sqrt[]{5}

所以原方程有四个根：x1=1x_{1}=1，x2=−1x_{2}=-1，x3=5x_{3}=\sqrt[]{5}，x4=−5.x_{4}=-\sqrt[]{5}.

在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

(1)(1)解方程(x2−x)2−4(x2−x)−12=0(x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12=0时，若设y=x2−xy=x^{2}-x，求出xx

(2)(2)利用换元法解方程：x2−42x+2xx2−4=2.\dfrac{x^{2}-4}{2x}+\dfrac{2x}{x^{2}-4}=2.

知识点：高次方程（二）章节：第22章 一元二次方程 / 22.3 实践与探索

答案与解析

答案

解：(1)(1)设y=x2−xy=x^{2}-x，原方程可变形为：y2−4y−12=0y^{2}-4y-12=0，
即(y−6)(y+2)=0(y-6)(y+2)=0，解得y1=6y_{1}=6，y2=−2y_{2}=-2，
当y=6y=6时，x2−x=6x^{2}-x=6，解得x1=−2x_{1}=-2，x2=3x_{2}=3；
当y=−2y=-2时，x2−x=−2x^{2}-x=-2，无解；
综上所述，x=−2x=-2或33；
(2)(2)设y=2xx2−4y=\dfrac{2x}{x^{2}-4}，则x2−42x=1y\dfrac{x^{2}-4}{2x}=\dfrac{1}{y}，
原方程变形为：1y+y−2=0\dfrac{1}{y}+y-2=0，化简得y2−2y+1=0y^{2}-2y+1=0，
即(y−1)2=0(y-1)^{2}=0，解得，y=1y=1，
经检验，y=1y=1是分式方程的根，
所以2xx2−4=1\dfrac{2x}{x^{2}-4}=1，即x2−2x−4=0x^{2}-2x-4=0，
解得：x1=1+5x_{1}=1+\sqrt{5}，x2=1−5x_{2}=1-\sqrt{5}，
经检验，1±51±\sqrt{5}是分式方程的根，
所以原分式方程的解为：x1=1+5x_{1}=1+\sqrt{5}，x2=1−5.x_{2}=1-\sqrt{5}.

解析

解：(1)(1)设y=x2−xy=x^{2}-x，原方程可变形为：y2−4y−12=0y^{2}-4y-12=0，
即(y−6)(y+2)=0(y-6)(y+2)=0，解得y1=6y_{1}=6，y2=−2y_{2}=-2，
当y=6y=6时，x2−x=6x^{2}-x=6，解得x1=−2x_{1}=-2，x2=3x_{2}=3；
当y=−2y=-2时，x2−x=−2x^{2}-x=-2，无解；
综上所述，x=−2x=-2或33；
(2)(2)设y=2xx2−4y=\dfrac{2x}{x^{2}-4}，则x2−42x=1y\dfrac{x^{2}-4}{2x}=\dfrac{1}{y}，
原方程变形为：1y+y−2=0\dfrac{1}{y}+y-2=0，化简得y2−2y+1=0y^{2}-2y+1=0，
即(y−1)2=0(y-1)^{2}=0，解得，y=1y=1，
经检验，y=1y=1是分式方程的根，
所以2xx2−4=1\dfrac{2x}{x^{2}-4}=1，即x2−2x−4=0x^{2}-2x-4=0，
解得：x1=1+5x_{1}=1+\sqrt{5}，x2=1−5x_{2}=1-\sqrt{5}，
经检验，1±51±\sqrt{5}是分式方程的根，
所以原分式方程的解为：x1=1+5x_{1}=1+\sqrt{5}，x2=1−5.x_{2}=1-\sqrt{5}.

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