如图①，$\angle ABC=90{}^\circ$，$O$为射线$BC$上一点，$OB=4$，点$D$为线段$OB$上一点，以点$O$为圆心，$OD$长为半径作$\odot O$交$BC$于点$D$，$E.$

$(1)$点$D$为$OB$中点，当射线$BA$绕点$B$顺时针方向旋转$360{}^\circ$，若$BA$与$\odot O$相切时，求$BA$旋转了多少度？
$(2)$在$(1)$的条件下，若射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转与$\odot O$相交于$M$，$N$两点$($如图②$)$，$MN=2\sqrt{2}$，求弧$MN$的长．