解：$(1)$当射线$BA$按顺时针方向旋转到$BA'$的位置时与圆第一次相切，作$OG⊥BA'$于点$G$，
$∵$点$D$为$OB$中点，
$∴OB=2OD=2OG$，
$∴OG=\dfrac{1}{2}OB=2$，
$∴∠A'BO=30°$，
$∴∠ABA'=90°-∠A'BO=60°$，即射线$BA$按顺时针方向旋转$60°$与圆第一次相切，
当射线$BA$按顺时针方向旋转到$BA''$的位置时与圆第二次相切，同理可得$∠OBA'{'}=30°$，
$∴∠ABA'{'}=90°+∠OBA'{'}=120°$，即射线$BA$按顺时针方向旋转$120°$与圆第二次相切，
故$BA$与$\odot O$相切时，射线$BA$旋转了$60°$或者$120°$；
$(2)∵MN=2\sqrt{2}$，$OM=ON=2$，
$∴MN^{2}=OM^{2}+ON^{2}$，
$∴∠MON=90°$，
$∴\overparen{MN}$的长为$\dfrac{90π×2}{180}=π.$

解：$(1)$当射线$BA$按顺时针方向旋转到$BA'$的位置时与圆第一次相切，作$OG⊥BA'$于点$G$，
$∵$点$D$为$OB$中点，
$∴OB=2OD=2OG$，
$∴OG=\dfrac{1}{2}OB=2$，
$∴∠A'BO=30°$，
$∴∠ABA'=90°-∠A'BO=60°$，即射线$BA$按顺时针方向旋转$60°$与圆第一次相切，
当射线$BA$按顺时针方向旋转到$BA''$的位置时与圆第二次相切，同理可得$∠OBA'{'}=30°$，
$∴∠ABA'{'}=90°+∠OBA'{'}=120°$，即射线$BA$按顺时针方向旋转$120°$与圆第二次相切，
故$BA$与$\odot O$相切时，射线$BA$旋转了$60°$或者$120°$；
$(2)∵MN=2\sqrt{2}$，$OM=ON=2$，
$∴MN^{2}=OM^{2}+ON^{2}$，
$∴∠MON=90°$，
$∴\overparen{MN}$的长为$\dfrac{90π×2}{180}=π.$