题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
九年级数学解答题一般
题目
如图，已知⊙O\odot O的半径长为11，PQPQ是⊙O\odot O的直径，点MM是PQPQ延长线上一点，以点MM为圆心作圆，与⊙O\odot O交于AA、BB两点，联结PAPA并延长，交⊙M\odot M于另外一点C.C.

(1)(1)若ABAB恰好是⊙O\odot O的直径，设OM=xOM=x，AC=yAC=y，试在图中画出符合要求的大致图形，并求yy关于xx的函数解析式;;

(2)(2)是否存在⊙M\odot M，使得ABAB、ACAC恰好是一个正五边形的两条边??若存在，试求OMOM的长度和⊙M\odot M的半径长;;若不存在，试说明理由.

知识点：勾股定理、相交两圆的性质、相似三角形的判定与性质章节：第27章 圆与正多边形 / 第2节 直线与圆、圆与圆的位置关系 / 27.5 圆与圆的位置关系

答案与解析

答案

解：(1)(1)过点MM作MN⊥ACMN⊥AC，垂足为NN，

∴AN=NC=12y∴AN=NC=\dfrac{1}{2}y，
由题意得：PM⊥ABPM⊥AB，又ABAB是圆OO的直径，
∴OA=OP=1∴OA=OP=1，
∴∠APO=45°∴∠APO=45°，PA=2PA=\sqrt{2}，
∴PN=2+12y∴PN=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}y，
在Rt△PNM{\rm Rt}\triangle PNM中，cos⁡∠NPM=PNPM\cos∠NPM=\dfrac{PN}{PM}，
又PM=1+xPM=1+x，∠NPM=45°∠NPM=45°，
∴cos⁡45°=2+12y1−x=22∴\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}y}{1-x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，
∴y∴y关于xx的函数解析式为y=2x−2(x>1)y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}(x>1)；
(2)(2)假设存在⊙M⊙M，使得ABAB、ACAC恰好是一个正五边形的两条边，
连接OAOA、MAMA、MCMC、AQAQ，设公共弦ABAB与直线OMOM相交于点GG

由正五边形知∠AMB=∠AMC=360°5=72°∠AMB=∠AMC=\dfrac{360°}{5}=72°，∠BAC=108°∠BAC=108°，
∵AB∵AB是公共弦，
∴OM⊥AB∴OM⊥AB，∠AMO=36°∠AMO=36°，
从而∠P=18°∠P=18°，∠AOM=2∠P=36°∠AOM=2∠P=36°
∴∠AOM=∠AMO∴∠AOM=∠AMO
∴AM=AO=1∴AM=AO=1，即圆MM的半径是11，
∵OA=OQ=1∵OA=OQ=1，∠AOM=36°∠AOM=36°
∴∠AQO=72°∴∠AQO=72°
∴∠QAM=∠AQO−∠AMO=36°∴∠QAM=∠AQO-∠AMO=36°
∴△MAQ∴\triangle MAQ∽△MOA\triangle MOA，
∴AMOM=MQAM∴\dfrac{AM}{OM}=\dfrac{MQ}{AM}
∵AM=1∵AM=1，MQ=OM−1MQ=OM-1
∴1OM=OM−11∴\dfrac{1}{OM}=\dfrac{OM-1}{1}，
解得：OM=1±52(OM=\dfrac{1±\sqrt{5}}{2}(负值舍去))
∴OM=5+12∴OM=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}，
所以，存在⊙M⊙M，使得ABAB、ACAC恰好是一个正五边形的两条边，
此时的OM=5+12OM=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}，圆MM的半径是1.1.

解析

解：(1)(1)过点MM作MN⊥ACMN⊥AC，垂足为NN，

∴AN=NC=12y∴AN=NC=\dfrac{1}{2}y，
由题意得：PM⊥ABPM⊥AB，又ABAB是圆OO的直径，
∴OA=OP=1∴OA=OP=1，
∴∠APO=45°∴∠APO=45°，PA=2PA=\sqrt{2}，
∴PN=2+12y∴PN=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}y，
在Rt△PNM{\rm Rt}\triangle PNM中，cos⁡∠NPM=PNPM\cos∠NPM=\dfrac{PN}{PM}，
又PM=1+xPM=1+x，∠NPM=45°∠NPM=45°，
∴cos⁡45°=2+12y1−x=22∴\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}y}{1-x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，
∴y∴y关于xx的函数解析式为y=2x−2(x>1)y=\sqrt{2}x-\sqrt{2}(x>1)；
(2)(2)假设存在⊙M⊙M，使得ABAB、ACAC恰好是一个正五边形的两条边，
连接OAOA、MAMA、MCMC、AQAQ，设公共弦ABAB与直线OMOM相交于点GG

由正五边形知∠AMB=∠AMC=360°5=72°∠AMB=∠AMC=\dfrac{360°}{5}=72°，∠BAC=108°∠BAC=108°，
∵AB∵AB是公共弦，
∴OM⊥AB∴OM⊥AB，∠AMO=36°∠AMO=36°，
从而∠P=18°∠P=18°，∠AOM=2∠P=36°∠AOM=2∠P=36°
∴∠AOM=∠AMO∴∠AOM=∠AMO
∴AM=AO=1∴AM=AO=1，即圆MM的半径是11，
∵OA=OQ=1∵OA=OQ=1，∠AOM=36°∠AOM=36°
∴∠AQO=72°∴∠AQO=72°
∴∠QAM=∠AQO−∠AMO=36°∴∠QAM=∠AQO-∠AMO=36°
∴△MAQ∴\triangle MAQ∽△MOA\triangle MOA，
∴AMOM=MQAM∴\dfrac{AM}{OM}=\dfrac{MQ}{AM}
∵AM=1∵AM=1，MQ=OM−1MQ=OM-1
∴1OM=OM−11∴\dfrac{1}{OM}=\dfrac{OM-1}{1}，
解得：OM=1±52(OM=\dfrac{1±\sqrt{5}}{2}(负值舍去))
∴OM=5+12∴OM=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}，
所以，存在⊙M⊙M，使得ABAB、ACAC恰好是一个正五边形的两条边，
此时的OM=5+12OM=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}，圆MM的半径是1.1.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →