题目
如图，⊙O
1和⊙O
2相交于A、B两点，O
1O
2与AB交于点C，O
2A的延长线交⊙O
1于点D，点E为AD的中点，AD=AB，联结O
1E．
（1）求证：O
1E=O
1C；
（2）如果O
1O
2=10，O
1E=6，求AB的长．
知识点：相交两圆的性质章节：第27章 圆与正多边形 / 第2节 直线与圆、圆与圆的位置关系 / 27.5 圆与圆的位置关系
答案与解析
答案
（1）证明：连接O
1A，
∵O
1E⊥AD，
∴AE=
，
∵⊙O
1和⊙O
2相交于A、B两点，O
1O
2与AB交于点C，
∴O
1C⊥AB，
∴AC=
AB，
∵AB=AD，
∴AE=AC，
在Rt△O
1EA和Rt△O
1CA中，
，
∴Rt△O
1EA≌Rt△O
1CA（HL）
∴O
1E=O
1C；
（2）解：设⊙O
2的半径长为r，
∵O
1E=O
1C=6，
∴O
2C=10-6=4，
在Rt△O
1EO
2中，O
2E=
=8，
∵Rt△O
1EA≌Rt△O
1CA，
∴AC=AE=8-r，
在Rt△ACO
2中，O
2A
2=AC
2+O
2C
2，即r
2=（8-r）
2+4
2，
解得，r=5，
∴AC=8-5=3，
∴AB=2AC=6．
解析
（1）证明：连接O
1A，
∵O
1E⊥AD，
∴AE=
，
∵⊙O
1和⊙O
2相交于A、B两点，O
1O
2与AB交于点C，
∴O
1C⊥AB，
∴AC=
AB，
∵AB=AD，
∴AE=AC，
在Rt△O
1EA和Rt△O
1CA中，
，
∴Rt△O
1EA≌Rt△O
1CA（HL）
∴O
1E=O
1C；
（2）解：设⊙O
2的半径长为r，
∵O
1E=O
1C=6，
∴O
2C=10-6=4，
在Rt△O
1EO
2中，O
2E=
=8，
∵Rt△O
1EA≌Rt△O
1CA，
∴AC=AE=8-r，
在Rt△ACO
2中，O
2A
2=AC
2+O
2C
2，即r
2=（8-r）
2+4
2，
解得，r=5，
∴AC=8-5=3，
∴AB=2AC=6．
