如图，已知直线$y=\dfrac{3}{4}x+3$与坐标轴交于$B$，$C$两点，点$A$是$x$轴正半轴上一点，并且$S_{\triangle ABC}=15.$点$F$是线段$AB$上一动点$($不与端点重合$)$，过点$F$作$FE/\!/y$轴，交$BC$于$E.$

$(1)$求$AB$所在直线的解析式$;$

$(2)$若$FD⊥y$轴于$D$，且点$D$的坐标为$\left(m,0\right)$，请用含$m$的代数式，表示$DF$与$EF$的长$;$

$(3)$在$y$轴上是否存在一点$P$，使得$\triangle PEF$为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点$P$的坐标，若不存在， 请说明理由.