如图，在平面直角坐标系中，过点$C(0,6)$的直线$AC$与直线$OA$相交于点$A(4,2)$，动点$M$在线段$OA$和射线$AC$上运动，试解决下列问题：

$(1)$求$\triangle OAC$的面积；

$(2)$求直线$AC$的表达式；

$(3)$是否存在点$M$，使$\triangle OMC$的面积是$\triangle OAC$的面积的$\dfrac{1}{4}$？若存在，求出此时点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.