$(1)$已知 $x\:=\sqrt{2}-1$，则 $x^{2}+2\:x-1=$__________.

$(2)$如图，将长方形分成四个区域，其中$A$，$B$两正方形区域的面积分别是$2$和$18$，则剩余区域的面积是__________.

$(3)$已知$\sqrt{(x-2{{)}^{2}}}+\sqrt{(x-3{{)}^{2}}}=x$，则$x$的值是__________.

$(4)$实数$a$在数轴上的对应点$A$的位置如图所示，$b=|a-\sqrt{2}|+|3-a|.$

①求$b$的值；

②已知 $b+2$的小数部分是 $m$，$8-\:b$的小数部分是 $n$，求$2\:m+2\:n+1$的平方根．

$(5)$如图，在${\rm Rt}\triangle ABC$中，$∠B=90°$，$∠A=30°$，$AC=8$，点$D$在$AB$上，且$BD=\sqrt{3}$，点$E$在$BC$上运动．将$\triangle BDE$沿$DE$折叠，点$B$落在点$B'$处，则点$B'$到$AC$的最短距离是__________