已知，在$\triangle ABC$中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6.$

$(1)$如图$(a)$所示，点$M$为$AB$的中点，在线段$AC$上取点$N$，使$\triangle AMN$与$\triangle ABC$相似，求线段$MN$的长．

$(2)$如图$(b)$所示，是由$100$个边长为$1$的小正方形组成的$10×10$的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

①请你在所给的网格中画出格点$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$与$\triangle ABC$全等$($画出一个即可，不需证明$)$；

②试直接写出所给的网格中与$\triangle ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个$($不需证明$).$